Momento de Inercia: esfera, disco e anel

Vamos imaginar uma plano inclinado com ângulo [; \theta ;]. Nesse plano inclinado há atrito estático e também uma condição de rolamento ([;\ {v}={R}{w} ;]). Temos então a possibilidade de colocar para rolar sobre esse plano uma esfera, um disco e um anel. Nessas condições, vamos analisar qual deles chegará primeiro ao final da rampa.

As condições iniciais (e favoráveis) para haver rolamento é eles possuírem massa, haver gravidade, momento de inércia e que eles sejam soltos de uma altura [;\ {h} ;] com velocidade inicial zero. Os momentos da esfera, disco e anel são, respectivamente:

[;\ {I_{cm}}=\frac{2}{5}{M}{R^2} ;]

[;\ {I_{cm}}=\frac{1}{2}{M}{R^2} ;]

[;\ {I_{cm}}={M}{R^2} ;]

O rolamento é interpretado como uma rotação instantânea em termos do ponto P (contato).

[;\ {K}=\frac{1}{2}{I_{cm}}{w^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]

(obs: Sendo o primeiro elemento da soma a energia de rotação do centro de massa (sem translação) com velocidade [;\ {w} ;] e o segundo elemento a energia de translação do centro de massa com [;\ {v} ;] (sem rodar))

[;\ E_{1}={m}{g}{h} ;]

[;\ E_{2}=\frac{1}{2}{I_{cm}}{w^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]

[;\ E_{2}=\frac{1}{2}{I_{cm}}\frac{v^2}{R^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]

[;\ {mgh}=\frac{1}{2}(\frac{I_{cm}}{R^2}+{M}){v^2} ;]

[;\ {v}=\sqrt{\frac{2mgh}{(\frac{I_{cm}}{R^2}+{M})} ;]

Utilizando os momentos fornecidos anteriormente, tiramos que:

Esfera: [;\ {v}=\sqrt{\frac{5}{7}\cdot(2gh)} ;]

Disco: [;\ {v}=\sqrt{\frac{2}{3}\cdot(2gh)} ;]

Anel: [;\ {v}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot(2gh)} ;]

Pale blue dot

“Éramos caçadores e coletores. A fronteira estava por toda parte. Éramos limitados apenas pela Terra, pelo oceano e pelo céu. A estrada aberta ainda nos chama suavemente. O nosso pequeno globo terráqueo é o hospício dessas centenas de milhares de milhões de mundos.

Nós, que não conseguimos pôr ordem sequer em nosso planeta natal, dilacerado por rivalidades e ódios, vamos nos aventurar pelo espaço?

Quando estivermos preparados para colonizar sistemas planetários próximos, teremos mudado. A simples passagem de tantas gerações nos terá mudado. A necessidade nos terá mudado. Somos uma espécie adaptável. Não seremos nós que chegaremos à Alfa do Centauro e às demais estrelas próximas. Será uma espécie muito parecida conosco, com mais virtudes e menos fraquezas que nós.

Mais segura, previdente, capaz e sensata. Apesar de todos os nossos fracassos, a despeito de nossas limitações e falibilidades, somos capazes de grandeza. Que novas maravilhas, jamais sonhadas em nossos tempos, teremos elaborado em mais uma geração? E em outra mais? Até onde nossa espécie nômade terá errado no final do próximo século? E do próximo milênio?

Nossos descendentes remotos, estabelecidos com segurança em muitos mundos pelo Sistema Solar e mais além, serão unidos pela sua herança comum, pela sua consideração para com o planeta natal e pelo conhecimento de que, sejam quais forem as outras formas de vida possíveis, os únicos seres humanos em todo o Universo vêm da Terra.

Erguerão e forçarão os olhos para descobrir o ponto azul no céu. Ficarão maravilhados ao perceber como era outrora vulnerável o repositório de todo o nosso potencial, como foi perigosa a nossa infância, como foram humildes as nossas origens, quantos rios tivemos de cruzar antes de encontrar nosso caminho”.

Carl Sagan, “Pálido Ponto Azul”.

P.S.: Retirado de Sedentário e Hiperativo

Um pequeno filme

Sempre achei que nós devemos compartilhar aquilo que é bom, alias meu blog desde o início eu tive essa idéia, pois muitas vezes um simples poema, vídeo ou até um questionamento, vem carregado de um sentimento que para a pessoa que está assistindo/lendo se torna especial. E por ora, em alguns casos, alegra uma manhã, uma tarde ou quem sabe… um dia que estava perdido.

A rede está repleta de arquivos. São gigas de informações, algumas horríveis que não valem a pena perder o tempo, outras… inesquecíveis.

Não estou escrevendo esse post para falar sobre isso, confesso que é uma boa idéia e vai ficar registrado para textos posteriores, mas minha intenção é indicar o vídeo abaixo que achei maravilhoso.

O homem do vídeo utiliza ferramentas holográficas para construir um prédio para a mulher que ele ama. O desfecho é incrível e a mensagem que cada um tira deste short film é, como eu disse anteriormente, única.

P.S.: Final de semestre chegando e é aquela correria… mas logo estou de férias.

“Meus oito anos” de Casimiro de Abreu

Este poema do Casimiro de Abreu, poeta brasileiro da segunda geração romântica, traz consigo de uma forma simples, espontânea e ingênua, os “meus oito anos” (e de muita gente) de uma forma tão maravilhosa e nostálgica que declamar esse poema na frente de um espelho é “ganhar” o dia.

Oh! que saudades que tenho
Da minha infância querida
Que os anos não trazem mais!
Que amor, que sonhos, que flores,
Naquelas tardes fagueiras
À sombra das bananeiras,
Debaixo dos laranjais!

Como são belos os dias
Do despontar da existência!
— Respira a alma inocência
Como perfumes a flor;
O mar é — lago sereno,
O céu — um manto azulado,
O mundo — um sonho dourado,
A vida — um hino d’amor!

Que aurora, que sol, que vida,
Que noites de melodia
Naquela doce alegria,
Naquele ingênuo folgar!
O céu bordado d’estrelas,
A terra de aromas cheia
As ondas beijando a areia
E a lua beijando o mar!

Oh! dias da minha infância!
Oh! meu céu de primavera!
Que doce a vida não era
Nessa risonha manhã!
Em vez das mágoas de agora,
Eu tinha nessas delícias
De minha mãe as carícias
E beijos de minhã irmã!

Livre filho das montanhas,
Eu ia bem satisfeito,
Da camisa aberta o peito,
— Pés descalços, braços nus —
Correndo pelas campinas
A roda das cachoeiras,
Atrás das asas ligeiras
Das borboletas azuis!

Naqueles tempos ditosos
Ia colher as pitangas,
Trepava a tirar as mangas,
Brincava à beira do mar;
Rezava às Ave-Marias,
Achava o céu sempre lindo.
Adormecia sorrindo
E despertava a cantar!

Oh! que saudades que tenho
Da aurora da minha vida,
Da minha infância querida
Que os anos não trazem mais!
— Que amor, que sonhos, que flores,
Naquelas tardes fagueiras
A sombra das bananeiras
Debaixo dos laranjais!

Depois de lido e “declamado” a você, veja a declamação de Paulo Autran, um ator brasileiro de teatro, cinema e televisão que foi genial.

Qual é a reinvidicação mesmo?

Ontem eu estava lendo uma matéria no Catraca Livre sobre uma menina, Giulia Olsson, que revertou US$10 mil para comprar instrumentos de corda para Heliópolis (uma favela).

O dinheiro doado é fruto de um trabalho voluntário da jovem que criou a organização Notes for Hope e com seu grupo lavou carros, vendeu limonadas e fez apresentações musicais gratuitas.

Enquanto pessoas como Giulia Olsson estão fazendo algo para melhorar alguma coisa nesse país, alguns jovens em bancos de universidades estão mais preocupados em fazer algazarra e reinvidicar de uma forma ridícula coisas que não tem o menor cabimento.

Nossas universidades estão formando incompetentes de carteirinha, prontos para questionar a tudo e a todos, mas que não são capazes de fazerem auto-críticas; “O que isso trará de benefício para a comunidade e, consequentemente, para mim?”, “Existem outras formas de reinvidicação?”, “Quais serão as consequências que esse ato irá trazer?”. Apenas perguntas simples…

Mais uma vez fica claro que nós jovens queremos mudar o mundo sem termos a capacidade de arrumar o nosso quarto primeiro. Lamentável.

“Borboletas” de Mario Quintana

Quando depositamos muita confiança ou expectativas em uma pessoa, o risco de se decepcionar é grande.

As pessoas não estão neste mundo para satisfazer as nossas expectativas, assim como não estamos aqui, para satisfazer as dela.

Temos que nos bastar… nos bastar sempre e quando procuramos estar com alguém, temos que nos conscientizar de que estamos juntos porque gostamos, porque queremos e nos sentimos bem, nunca por precisar de alguém.

As pessoas não se precisam, elas se completam… não por serem metades, mas por serem inteiras, dispostas a dividir objetivos comuns, alegrias e vida.

Com o tempo, você vai percebendo que para ser feliz com a outra pessoa, você precisa em primeiro lugar, não precisar dela. Percebe também que aquela pessoa que você ama (ou acha que ama) e que não quer nada com você, definitivamente, não é o homem ou a mulher de sua vida.

Você aprende a gostar de você, a cuidar de você, e principalmente a gostar de quem gosta de você.

O segredo é não cuidar das borboletas e sim cuidar do jardim para que elas venham até você.

No final das contas, você vai achar
não quem você estava procurando, mas quem estava procurando por você!

Doença: a voz da incapacidade

Essa semana estou muito debilitado tanto para escrever quanto para estudar. Passei (acredito eu) por uma intoxicação alimentar por causa de um salgado que comi na faculdade e isso abaixou minha resistência fazendo eu pegar uma gripe deveras forte. Enfim, estou praticamente de cama desde terça-feira, utilizando a única força que resta para frequentar as aulas e pelo menos forçar meu cérebro para ele não ficar parado “atrofiando”.

O meu objetivo com esse relato pessoal é mostrar o quanto nós somos fracos diante de uma doença, seja ela qual for. A questão é que quando estamos bem de saúde, as vezes simplesmente esquecemos de aproveitar, curtir, se divertir, preferimos ficar tristes e chorar à rir sem parar.

É uma pena isso, pelo menos para mim não há algo melhor do que o sorriso, inclusive isso explica eu não gostar de qualquer doença, pois ela retira a capacidade de qualquer um sorrir.

Eu separo tudo isso em dois ambientes, inclusive um muito peculiar. A doença me lembra um hospital, lugar tão triste, cinzento, solitário, sem nenhum riso… apenas correria e em alguns casos, gritaria. Já a saúde me lembra um parque de diversões, pessoas rindo, felicidade, crianças, espontaneadade, nostalgia, um “mundo” colorido.

Sorrir HOJE é um bom “remédio”; amanhã é tarde. Apenas um “pensamento” aleatório de alguém que está sem nada para fazer em uma noite de sexta-feira…

Resolução do Moyses (questão 12 Cap. 2)

Continuando com a idéia proposta no último post, vou deixar mais uma questão interessatíssima resolvida pelo Brain na comunidade.

—x—x—

Um método possível para medir a aceleração da gravidade g consiste em lançar uma bolinha para cima num tubo onde se fez vácuo e medir com precisão os instantes e [;\ t_2 ;] de passagem (na subida e na descida, respectivamente) por uma altura z conhecida, a partir do instante do lançamento. Mostre que:

[;\ g = \frac{2z}{t_1t_2} ;]

Solução:

A equação que descreve a altura em função do tempo em um lançamento de uma partícula é dado pela seguinte relação:

[;\ h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2} ;]

Onde [\; v_0 ;] é a velocidade inicial de lançamento. Repare que a função acima é uma equação do segundo grau (parábola), e o enunciado nos diz que para os tempos [;\ t_1 ;] e [;\ t_2 ;] a partícula se encontra na mesma altura H, dessa maneira temos a seguinte equação

[;\ \frac{gt^2}{2} - v_0 t + H = 0 ;]

A solução desta equação são os tempos [;\ t_1 ;] e [;\ t_2 ;], fazendo uso da segunda relação de Girard para equações do segundo grau, temos que:

[;\ t_1t_2 = \frac{v_0}{g/2} \Rightarrow g = \frac{2z}{t_1t_2} ;]

Resolução do Moyses (questão 5)

Está rolando um tópico na comunidade Física e Matemática do Orkut que são nada mais nada menos do que as soluções do Moyses Nussenzveig.

Acho o livro fantástico e justamente por isso, toda vez que resolverem um exercício que [na minha opinião] acho fascinante, farei questão de copiar aqui para o meu blog.

Nomais, recomendo fortemente que os usuários leiam o artigo que publiquei anteriormente falando sobre o Greasemonkey e o Tex the World.

—x—x—

Um garoto quer atirar um pedregulho de massa igual a 50g num passarinho pousado num galho 5m a sua frente e 2m acima de seu braço. Para isso, utiliza um estilingue em cada elástico se estica 1cm para uma força aplicada de 1N. O garoto aponta numa direção a 30° da horizontal. De que distância deve puxar os elásticos para acertar no passarinho?

Resolução:

Seja m a massa da pedra, L a distância entre o menino e a árvore, H a altura do galho, θ o ângulo de mira e k o coeficiente de elasticidade de um único elástico do estilingue, dado por k = F/x = 1/0,01 = 100 N/m.

Como a força elástica é conservativa, temos pela lei de conservação da energia mecânica que:

onde é a velocidade com que a pedra sai do estilingue, é a elongação do mesmo e = 2k (associação de molas em paralelo). Rearranjando a equação anterior, temos:

[1]

A trajetória do lançamento oblíquo de uma partícula é descrita pela função:

[2]

Igualando [1] e [2], teremos:

Em particular para atingirmos o passarinho devemos ter x = L e y = H . Logo:

Por fim, substituindo os valores iniciais:

P.S.: Eu não sou o responsável pela resolução, sou um mero reprodutor de conhecimento. Quem resolveu essa questão foi o Pierre Nazé um participante da comunidade. A questão (de número 5) pode ser encontrada na página 123 do Volume I (Mecânica).

Surpreenda-se; apenas viva

As vezes nos sentimos solitários, mesmo cercado de dezenas de pessoas. As vezes acordamos e a única vontade que temos é de desligar o despertador e voltar a dormir, mas as regras de conduta nos chamam e levatamos para cumprir com nossas obrigações. Seguimos adiante com uma rotina e a excitação frequente em todos parece não nos tocar e os momentos de riso, parecem não ter o mesmo valor.

“As pessoas mais felizes não têm as melhores coisas. Elas sabem fazer o melhor das oportunidades que aparecem em seus caminhos.”

Na volta para casa, observamos casais e contamos nossos passos, sabemos quantos são necessários. E então dormimos para que no dia seguinte a rotina recomece.

Os dias se passam e de repente um simples olhar para o lado faz você se reencontrar e ter a sensação de que está “vivo” novamente. Em apenas um simples gesto de sorrir, você é capaz de encontrar tudo aquilo que procura: a vontade de amar. A sensação é de que os dias valem a pena e merecem ser vividos como se fossem o último.

A vida deixa de ser cinza passando a ser colorida. E os momentos deixam de ser ‘mais um’ e passam a ser ÚNICOS e INESQUECÍVEIS. E por um instante, toda aquela monotonia se vai…

Parece que tudo passou tão depressa que você não teve tempo de mostrar o quanto ama aquela pessoa que sorriu para você naquele momento. Quantas vezes na vida não deixamos para dizer a alguém o quanto a amamos e as vezes não temos mais outra chance?

Não há momento apropriado para dizer algo. O momento certo é o “surpreendente”.

”Sonhe com aquilo que você quiser. Seja o que você quer ser, porque você possui apenas uma vida e nela só se tem uma chance de fazer aquilo que se quer.”

Quantas vezes não deixamos de fazer alguma coisa incrível? Quantas vezes não deixamos para “amanhã”? O melhor da vida é o agora. Dê uma chance a você mesmo… surpreenda.

“A vida é curta, mas as emoções que podemos deixar duram uma eternidade. A vida não é de se brincar porque um belo dia se morre.”

P.S.: Trechos de Clarice Lispector