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Resolução do Moyses (questão 12 Cap. 2)

Continuando com a idéia proposta no último post, vou deixar mais uma questão interessatíssima resolvida pelo Brain na comunidade.

—x—x—

Um método possível para medir a aceleração da gravidade g consiste em lançar uma bolinha para cima num tubo onde se fez vácuo e medir com precisão os instantes [;\ t_1 ;] e [;\ t_2 ;] de passagem (na subida e na descida, respectivamente) por uma altura z conhecida, a partir do instante do lançamento. Mostre que:

[;\ g = \frac{2z}{t_1t_2} ;]

Solução:

A equação que descreve a altura em função do tempo em um lançamento de uma partícula é dado pela seguinte relação:

[;\ h(t) = v_0 t – \frac{gt^2}{2} ;]

Onde [\; v_0 ;] é a velocidade inicial de lançamento. Repare que a função acima é uma equação do segundo grau (parábola), e o enunciado nos diz que para os tempos [;\ t_1 ;] e [;\ t_2 ;] a partícula se encontra na mesma altura H, dessa maneira temos a seguinte equação

[;\ \frac{gt^2}{2} – v_0 t + H = 0 ;]

A solução desta equação são os tempos [;\ t_1 ;] e [;\ t_2 ;], fazendo uso da segunda relação de Girard para equações do segundo grau, temos que:

[;\ t_1t_2 = \frac{v_0}{g/2} \Rightarrow g = \frac{2z}{t_1t_2} ;]

Resolução do Moyses (questão 5)

junho 8, 2009 1 comentário

Está rolando um tópico na comunidade Física e Matemática do Orkut que são nada mais nada menos do que as soluções do Moyses Nussenzveig.

Acho o livro fantástico e justamente por isso, toda vez que resolverem um exercício que [na minha opinião] acho fascinante, farei questão de copiar aqui para o meu blog.

Nomais, recomendo fortemente que os usuários leiam o artigo que publiquei anteriormente falando sobre o Greasemonkey e o Tex the World.

—x—x—

Um garoto quer atirar um pedregulho de massa igual a 50g num passarinho pousado num galho 5m a sua frente e 2m acima de seu braço. Para isso, utiliza um estilingue em cada elástico se estica 1cm para uma força aplicada de 1N. O garoto aponta numa direção a 30° da horizontal. De que distância deve puxar os elásticos para acertar no passarinho?

Resolução:

Seja m a massa da pedra, L a distância entre o menino e a árvore, H a altura do galho, θ o ângulo de mira e k o coeficiente de elasticidade de um único elástico do estilingue, dado por k = F/x = 1/0,01 = 100 N/m.

Como a força elástica é conservativa, temos pela lei de conservação da energia mecânica que:

[;\ \frac{k_0{x^2}_0}{2} = \frac{m{v^2}_0}{2};]

onde [;\ v_{0} ;] é a velocidade com que a pedra sai do estilingue, [;\ x_{0} ;] é a elongação do mesmo e [;\ k_{0} ;] = 2k (associação de molas em paralelo). Rearranjando a equação anterior, temos:

[;\ {v^2}_0 = \frac{2k{x^2}_0}{m} ;] [1]

A trajetória do lançamento oblíquo de uma partícula é descrita pela função:

[;\ y(x) = x\tan{\theta} - \frac{g{x}^2}{2{v_0}^2{\cos}^2\theta} ;] [2]

Igualando [1] e [2], teremos:

[;\ \frac{2k{x_0}^2}{m} = \frac{g{x^2}}{2(x\tan{\theta} - y){{\cos}^2\theta}} ;]

Em particular para atingirmos o passarinho devemos ter x = L e y = H . Logo:

[;\ \fbox{|x_0| = \sqrt{\frac{mg{L}^2}{4k(L\tan{\theta} - H){\cos}^2\theta}}} ;]

Por fim, substituindo os valores iniciais:

[;\ \fbox{x_0 \approx 21,5cm} ;]

P.S.: Eu não sou o responsável pela resolução, sou um mero reprodutor de conhecimento. Quem resolveu essa questão foi o Pierre Nazé um participante da comunidade. A questão (de número 5) pode ser encontrada na página 123 do Volume I (Mecânica). 😉