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Momento de Inercia: esfera, disco e anel

julho 5, 2009 1 comentário

Vamos imaginar uma plano inclinado com ângulo [; \theta ;]. Nesse plano inclinado há atrito estático e também uma condição de rolamento ([;\ {v}={R}{w} ;]). Temos então a possibilidade de colocar para rolar sobre esse plano uma esfera, um disco e um anel. Nessas condições, vamos analisar qual deles chegará primeiro ao final da rampa.

As condições iniciais (e favoráveis) para haver rolamento é eles possuírem massa, haver gravidade, momento de inércia e que eles sejam soltos de uma altura [;\ {h} ;] com velocidade inicial zero. Os momentos da esfera, disco e anel são, respectivamente:

[;\ {I_{cm}}=\frac{2}{5}{M}{R^2} ;]

[;\ {I_{cm}}=\frac{1}{2}{M}{R^2} ;]

[;\ {I_{cm}}={M}{R^2} ;]

O rolamento é interpretado como uma rotação instantânea em termos do ponto P (contato).

[;\ {K}=\frac{1}{2}{I_{cm}}{w^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]

(obs: Sendo o primeiro elemento da soma a energia de rotação do centro de massa (sem translação) com velocidade [;\ {w} ;] e o segundo elemento a energia de translação do centro de massa com [;\ {v} ;] (sem rodar))

[;\ E_{1}={m}{g}{h} ;]

[;\ E_{2}=\frac{1}{2}{I_{cm}}{w^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]

[;\ E_{2}=\frac{1}{2}{I_{cm}}\frac{v^2}{R^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]

[;\ {mgh}=\frac{1}{2}(\frac{I_{cm}}{R^2}+{M}){v^2} ;]

[;\ {v}=\sqrt{\frac{2mgh}{(\frac{I_{cm}}{R^2}+{M})} ;]

Utilizando os momentos fornecidos anteriormente, tiramos que:

Esfera: [;\ {v}=\sqrt{\frac{5}{7}\cdot(2gh)} ;]

Disco: [;\ {v}=\sqrt{\frac{2}{3}\cdot(2gh)} ;]

Anel: [;\ {v}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot(2gh)} ;]

Resolução do Moyses (questão 12 Cap. 2)

Continuando com a idéia proposta no último post, vou deixar mais uma questão interessatíssima resolvida pelo Brain na comunidade.

—x—x—

Um método possível para medir a aceleração da gravidade g consiste em lançar uma bolinha para cima num tubo onde se fez vácuo e medir com precisão os instantes [;\ t_1 ;] e [;\ t_2 ;] de passagem (na subida e na descida, respectivamente) por uma altura z conhecida, a partir do instante do lançamento. Mostre que:

[;\ g = \frac{2z}{t_1t_2} ;]

Solução:

A equação que descreve a altura em função do tempo em um lançamento de uma partícula é dado pela seguinte relação:

[;\ h(t) = v_0 t – \frac{gt^2}{2} ;]

Onde [\; v_0 ;] é a velocidade inicial de lançamento. Repare que a função acima é uma equação do segundo grau (parábola), e o enunciado nos diz que para os tempos [;\ t_1 ;] e [;\ t_2 ;] a partícula se encontra na mesma altura H, dessa maneira temos a seguinte equação

[;\ \frac{gt^2}{2} – v_0 t + H = 0 ;]

A solução desta equação são os tempos [;\ t_1 ;] e [;\ t_2 ;], fazendo uso da segunda relação de Girard para equações do segundo grau, temos que:

[;\ t_1t_2 = \frac{v_0}{g/2} \Rightarrow g = \frac{2z}{t_1t_2} ;]

Cositas…

Alguns links legais. 😉

Physics News Update nº864 (traduzido pelo João Carlos da comunidade de Física — admiro muito a iniciativa ;-))
Cerebro mais velho pode ser mais sabio
‘Linux is a platform for people, not just specialists’
Conselho de informatica? Veja porque eu digo NÃO! (esse país e suas regulamentações… 😦 )
Usuarios da internet estao mais egoistas
Brasileiros vivem ‘boom’ do consumo, diz New York Times
Conhece o dpaste.com?
Nascimento de supernova
Redes sem fio podem interferir em telefones sem fio?
Fold-it: jogo online em prol da ciencia

Dicas do Daniel Ferrante:

We need more novels about real scientists
Brazil, Free Software and “Castrate Windows”
Outsider science (um dos casos de Indice de Birutice)

Esse final de semana o José Hugo e o Marcos Paulo, ambos da comunidade de Física do Orkut, me indicaram ótimos materiais de Física que podem ser encontrados aqui e aqui. Estou lendo o Física I do Takeshi Kodama e o material é de excelente qualidade, recomendo.

Abraços.