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Momento de Inercia: esfera, disco e anel

julho 5, 2009 1 comentário

Vamos imaginar uma plano inclinado com ângulo [; \theta ;]. Nesse plano inclinado há atrito estático e também uma condição de rolamento ([;\ {v}={R}{w} ;]). Temos então a possibilidade de colocar para rolar sobre esse plano uma esfera, um disco e um anel. Nessas condições, vamos analisar qual deles chegará primeiro ao final da rampa.

As condições iniciais (e favoráveis) para haver rolamento é eles possuírem massa, haver gravidade, momento de inércia e que eles sejam soltos de uma altura [;\ {h} ;] com velocidade inicial zero. Os momentos da esfera, disco e anel são, respectivamente:

[;\ {I_{cm}}=\frac{2}{5}{M}{R^2} ;]

[;\ {I_{cm}}=\frac{1}{2}{M}{R^2} ;]

[;\ {I_{cm}}={M}{R^2} ;]

O rolamento é interpretado como uma rotação instantânea em termos do ponto P (contato).

[;\ {K}=\frac{1}{2}{I_{cm}}{w^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]

(obs: Sendo o primeiro elemento da soma a energia de rotação do centro de massa (sem translação) com velocidade [;\ {w} ;] e o segundo elemento a energia de translação do centro de massa com [;\ {v} ;] (sem rodar))

[;\ E_{1}={m}{g}{h} ;]

[;\ E_{2}=\frac{1}{2}{I_{cm}}{w^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]

[;\ E_{2}=\frac{1}{2}{I_{cm}}\frac{v^2}{R^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]

[;\ {mgh}=\frac{1}{2}(\frac{I_{cm}}{R^2}+{M}){v^2} ;]

[;\ {v}=\sqrt{\frac{2mgh}{(\frac{I_{cm}}{R^2}+{M})} ;]

Utilizando os momentos fornecidos anteriormente, tiramos que:

Esfera: [;\ {v}=\sqrt{\frac{5}{7}\cdot(2gh)} ;]

Disco: [;\ {v}=\sqrt{\frac{2}{3}\cdot(2gh)} ;]

Anel: [;\ {v}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot(2gh)} ;]

Pale blue dot

“Éramos caçadores e coletores. A fronteira estava por toda parte. Éramos limitados apenas pela Terra, pelo oceano e pelo céu. A estrada aberta ainda nos chama suavemente. O nosso pequeno globo terráqueo é o hospício dessas centenas de milhares de milhões de mundos.

Nós, que não conseguimos pôr ordem sequer em nosso planeta natal, dilacerado por rivalidades e ódios, vamos nos aventurar pelo espaço?

Quando estivermos preparados para colonizar sistemas planetários próximos, teremos mudado. A simples passagem de tantas gerações nos terá mudado. A necessidade nos terá mudado. Somos uma espécie adaptável. Não seremos nós que chegaremos à Alfa do Centauro e às demais estrelas próximas. Será uma espécie muito parecida conosco, com mais virtudes e menos fraquezas que nós.

Mais segura, previdente, capaz e sensata. Apesar de todos os nossos fracassos, a despeito de nossas limitações e falibilidades, somos capazes de grandeza. Que novas maravilhas, jamais sonhadas em nossos tempos, teremos elaborado em mais uma geração? E em outra mais? Até onde nossa espécie nômade terá errado no final do próximo século? E do próximo milênio?

Nossos descendentes remotos, estabelecidos com segurança em muitos mundos pelo Sistema Solar e mais além, serão unidos pela sua herança comum, pela sua consideração para com o planeta natal e pelo conhecimento de que, sejam quais forem as outras formas de vida possíveis, os únicos seres humanos em todo o Universo vêm da Terra.

Erguerão e forçarão os olhos para descobrir o ponto azul no céu. Ficarão maravilhados ao perceber como era outrora vulnerável o repositório de todo o nosso potencial, como foi perigosa a nossa infância, como foram humildes as nossas origens, quantos rios tivemos de cruzar antes de encontrar nosso caminho”.

Carl Sagan, “Pálido Ponto Azul”.

P.S.: Retirado de Sedentário e Hiperativo

Um pequeno filme

Sempre achei que nós devemos compartilhar aquilo que é bom, alias meu blog desde o início eu tive essa idéia, pois muitas vezes um simples poema, vídeo ou até um questionamento, vem carregado de um sentimento que para a pessoa que está assistindo/lendo se torna especial. E por ora, em alguns casos, alegra uma manhã, uma tarde ou quem sabe… um dia que estava perdido.

A rede está repleta de arquivos. São gigas de informações, algumas horríveis que não valem a pena perder o tempo, outras… inesquecíveis.

Não estou escrevendo esse post para falar sobre isso, confesso que é uma boa idéia e vai ficar registrado para textos posteriores, mas minha intenção é indicar o vídeo abaixo que achei maravilhoso.

O homem do vídeo utiliza ferramentas holográficas para construir um prédio para a mulher que ele ama. O desfecho é incrível e a mensagem que cada um tira deste short film é, como eu disse anteriormente, única.

P.S.: Final de semestre chegando e é aquela correria… mas logo estou de férias.