Podemos descrever a oscilação em torno do eixo que passa por O, através do movimento de rotação pura em torno de O.
Temos que:
Da segunda lei para rotação:
Portanto,
Para oscilações de pequenas amplitudes
Do Movimento Harmônico Simples:
Comparando com
obtemos que,
E disso tiramos o período
Do Teorema de Steiner (chamado também de Teorema dos Eixos Paralelos) sabemos
Então:
Tomamos o como
e ficamos com um período que independe da massa
Recomendo aos que tiverem interesse assistir a seguinte aula do Walter Lewin:
No vídeo é possível vê-lo explicando sobre os períodos de um anel, barra, disco e pêndulo, além é claro de ver comparações e assistir uma aula fantástica. 
[; T=\pi\sqrt{\frac{R}{g}} (Anel) ;]
[; T=\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}} (Barra) ;]
[; T=\pi\sqrt{\frac{3R}{2g}} (Disco) ;]
[; T=\pi\sqrt{\frac{L}{g}} (Pendulo) ;]
