Vamos imaginar uma plano inclinado com ângulo [; \theta ;]. Nesse plano inclinado há atrito estático e também uma condição de rolamento ([;\ {v}={R}{w} ;]). Temos então a possibilidade de colocar para rolar sobre esse plano uma esfera, um disco e um anel. Nessas condições, vamos analisar qual deles chegará primeiro ao final da rampa.
As condições iniciais (e favoráveis) para haver rolamento é eles possuírem massa, haver gravidade, momento de inércia e que eles sejam soltos de uma altura [;\ {h} ;] com velocidade inicial zero. Os momentos da esfera, disco e anel são, respectivamente:
[;\ {I_{cm}}=\frac{2}{5}{M}{R^2} ;]
[;\ {I_{cm}}=\frac{1}{2}{M}{R^2} ;]
[;\ {I_{cm}}={M}{R^2} ;]
O rolamento é interpretado como uma rotação instantânea em termos do ponto P (contato).
[;\ {K}=\frac{1}{2}{I_{cm}}{w^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]
(obs: Sendo o primeiro elemento da soma a energia de rotação do centro de massa (sem translação) com velocidade [;\ {w} ;] e o segundo elemento a energia de translação do centro de massa com [;\ {v} ;] (sem rodar))
[;\ E_{1}={m}{g}{h} ;]
[;\ E_{2}=\frac{1}{2}{I_{cm}}{w^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]
[;\ E_{2}=\frac{1}{2}{I_{cm}}\frac{v^2}{R^2}+\frac{1}{2}{M}{v^2} ;]
[;\ {mgh}=\frac{1}{2}(\frac{I_{cm}}{R^2}+{M}){v^2} ;]
[;\ {v}=\sqrt{\frac{2mgh}{(\frac{I_{cm}}{R^2}+{M})} ;]
Utilizando os momentos fornecidos anteriormente, tiramos que:
Esfera: [;\ {v}=\sqrt{\frac{5}{7}\cdot(2gh)} ;]
Disco: [;\ {v}=\sqrt{\frac{2}{3}\cdot(2gh)} ;]
Anel: [;\ {v}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot(2gh)} ;]
Parabéns, Mateus.
Deve tá tudo certo